Menyelesaikan Penjumlahan dan Perkalian Vektor [Elektromagnetika]

Penjumlahan Vektor

Jika terdapat dua buah vektor tiga dimensi, yaitu A dan B. Maka keduanya dapat dituliskan dalam komponen dan vektro satuan sebagai berikut:

A = Axi+Ayj+Azk

B = Bxi+Byj+Bzk

*A dan B di atas merupakan komponen vektor 3 dimensi yang memiliki x,y,z dan i,j,k. x,y,z merupakan angka satuan yang terdapat pada sebuah vektor, dan i,j,k merupakan variabelnya.

Kemudian, Misalkan R adalah jumlah atau selisih dari dua buah vektor A dan B, maka:

R = A+B

R = (Ax+Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k

R = Rxi + Ryj + Rzk

Dan selisih kedua vektor tersebut adalah :

R = A-B

R = (Ax-Bx)i + (Ay-By)j + (Az-Bz)k

R = Rxi + Ryj + Rzk

Contoh Soal :

Jika diketahui,

A = 7i - 6j

B = -3i + 12j

Berapakah A+B dan A-B?

Jawaban :

Maka, 

A+B= (7i-6j)+(-3i+12j)

A+B= (7+(-3))i + ((-6)+12)j

A+B= 4i+6j

Dan,

A-B= (7i-6j)-(-3i+12j)

A-B= (7-(-3))i + ((-6)-12)j

A-B= 10i-18j

Perkalian Vektor

1. Perkalian skalar dengan vektor

2. Perkalian vektor dengan vektor
   a. Perkalian Titik (Dot Product)
   b. Perkalian Silang (Cross Product)

1. Perkalian Skalar dengan vektor akan menghasilkan vektor

k = Skalar
A = Vektor



Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A.

Catatan :
*Jika k positif arah C searah dengan A
*Jika k negatif arah C berlawanan dengan A

2. Perkalian Vektor dengan Vektor

Perkalian titik (Dot Product) hasilnya skalar

C = Skalar




Kemudian untuk mencari sudut diantara 2 vektor kita bisa menggunakan rumus di bawah ini.

Jadi setelah kita menemukan "C" tadi kita bisa mencari sudut vektor.  

Contoh soal :

Tentukan hasil perkalian titik dan sudut yang dibentuk dari vektor berikut ini,

A = 2i-2j+4k

B = i-3j+2k

Pembahasan :

Pertama, carilah C menggunakan perkalian titik (Dot Product).

A.B = (2.1)+(-2.-3)+(4.2)

  C = 16

Kedua, Hitung masing - masing besar vektornya.

|A| = √2²+(-2)²+4² = 4.8

|B| = √1²+(-3)²+2² = 3.7

Setelah C dan besar vektor ditemukan, selanjutnya tinggal dimasukan dengan rumus persamaan yang tadi di atas.

C  = |A|.|B|.Cosθ

16 = (4,8)(3.7)Cosθ

Cosθ = 16/17,76 = 0,9

θ = arc Cos (0,9) = 25,8 derajat

Perkalian Silang (Cross Product) menghasilkan vektor lain.

Dalam Bentuk Komponen Vektor

Gunakan metoda determinan matrik untuk menerakan rumus di atas.

Sehingga,
V=[(a2.b3-a3.b2)i,(a3.b1-a1b3)j,(a1b2-a2b1)k]

Sifat - sifat pada Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan.

Sifat - sifat Perkalian Silang (Cross Product) Vektor Satuan.\

> Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu kesatuan vektor
> Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (Koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.
> Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan