Operasi Matematik Vektor Jumlah dan Selisih Vektor (Contoh Soal, Penjelasan)

Ini adalah kelanjutan postingan dari minggu lalu yaitu konsep dasar vektor. Sekarang saya akan membahas tentang operasi matematik vektor yang biasa digunakan pada pelajaran fisika untuk mencari jarak vektor, arah vektor, dan sudut vektor. Operasi matematik vektor terdapat 2 metode, pertama yaitu operasi jumlah dan selisih, kedua adalah operasi kali. Sekarang kita mulai saja dengan metode pertama, operasi jumlah dan selisih.

I. Jumlah dan selisih vektor
Penjumalahan vektor (vector sum) dari dua buah vektor atau lebih biasanya dapat dilakukan jika vektor-vektor tersebut memiliki besaran yang sejenis.

1. Jajar Genjang

2. Segitiga

3. Poligon

4. Uraian

Penjumlahan dua buah vektor dengan menggunakan metoda jajar genjang, dilakukan dengan cara menggambarkan kedua vektor tersebut saling berhimpit pangkalnya sebagai dua sisi yang berdekatan dari sebuah jajar genjang.

Besarnya vektor R=|R|

Besarnya Vektor S=|S|

Jika vektor A dan B searah maka, 

θ = 0o

R = A+B

Jika vektor A dan B berlawanan arah maka,

θ = 180o

R = A - B Jika Vektor A dan B saling tegak lurus maka,

θ = 90o

R = √(A2+B2)

Catatan: untuk selisih (-) arah vektor dibalik

Vektor uraian adalah vektor yang diuraikan atas komponen - komponennya (sumbu x dan sumbu y)atau disebut dengan metode analitik(dua dimensi). Penjumlahan dua vektor dalam dua dimensi, metoda geometris dan metoda jajar genjang cukup memadai/bisa digunakan. Tetapi untuk kasus penjumlahan tiga vektor ataupun penjumlahan vektor dalam tiga dimensi seringkali kurang menguntungkan. Cara lain yang dapat digunakan untuk penjumlahan vektor adalah metoda analitik ini. Dengan metode ini, vektor-vektor yang akan dijumlahkan, masing-masing diuraikan dalam komponen-komponen vektor arahnya.

Besar Vektor A+B=|A+B|=|R|

|R|=|A+B|

Arah Vektor R (Terhadap sumbu x positif)

tgθ =Ry/Rx

θ   =arc tg(Ry/Rx)

Contoh Soal:

1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut, hitunglah besar dan arah vektor resultan!

Besar dan arah vektor pada gambar di atas sebagai berikut,

Jawaban :

Pertama buatlah tabel pernyataan seperti ini untuk mencari Rx dan Ry!

Dari tabel diatas diketahui bahwa,

Untuk mencari komponen x kita menggunakan rumus:

A(Cosθ)

B(Cosθ)

C(Cosθ)

D(Cosθ)

E(Cosθ)

dan untuk mencari komponen y dengan rumus:

A(Sinθ)

B(Sinθ)

C(Sinθ)

D(Sinθ)

E(Sinθ)

Setelah komponen x dan y diketahui maka jumlahkan setiap komponen untuk mendapatkan nilai Rx dan Ry.

Setelah itu kita bia menentukan besar vektor R

R =√Rx^2+Ry^2

R =√8.5^2+(-5.1)^2=9.91

Tentukan arah vektor R terhadap sumbu x positif:

tgθ = -5.1/8.5 = -0.6

θ = arc tg (-0.6) 

θ= 329.03 derajat (terhadap x berlawanan arah jarum jam) 

θ= -30.9 derajat (searah jarum jam)

2. Seorang tukang pos pedesaan meninggalkan kantor pos dan berkendaraan sejauh 22km ke arah utara ke kota berikutnya. Ia kemudian meneruskan dengan arah 60 derajat ke selatan dari arah timur sepanjang 47km ke kota lainnya. Berapakah perpindahannya dari kantor pos?

Pembahasan :

Jika P1 adalah vektor perpindahan pertama dari tukang pos dan P2 adalah vektor perpindahan kedua dari tukang pos, maka komponen-komponen kedua vektor tersebut pada sumbu x dan y adalah:

P1x = 0

P2y = 22km

P2x = +Pcosθ = +(47km)x(cos60) = +23,5km

P2y = -Psinθ = -(47km)x(sin60) = -40,7km

Perhatikan bahwa P2y negatif karena komponen vektor ini menunjuk sepanjang sumbu y negatif. Vektor resultan P, mempunyai komponen-komponen:

Px = P1x+P2x = 0km + 23.5km = +23.5km

Py = P1y+P2y = 22km + (-40,7km)= -18,7km

Maka vektor resultan :

P = √Px^2+Py^2 = √(23.5)^2+(-18.7)^2 = 30km

tanθ = Py/Px = -18.7km/23.5km = -0.7957

θ = arc tan(-0.7957) = -38.51 derajat

Tanda negatif berarti θ=38.51 derajat berada di bawah sumbu x.